Vamos con ello; en primer lugar, una advertencia: los cálculos que vamos a presentar aquí distan mucho de ser exactos. No obstante, estamos convencidos de su validez al menos en orden de magnitud (es decir: si un cálculo nos da 30000, quizá su valor correcto sea 57894, pero seguro que no será 100, y casi seguro que no excederá de 100000). El uso de este tipo de cálculos proporciona una buena herramienta en física para realizar estimaciones rápidas a problemas planteados (esto constituye hasta cierto punto un lugar común; al que le interese profundizar en esta manera de proceder, le recomendamos que busque alguna lectura sobre preguntas de Fermi, por ejemplo ésta; esta otra, sobre cálculos estimativos, es también muy interesante).
Recapitulemos los datos de que disponemos: una catapulta de 8 m de alto lanza proyectiles esféricos de 26 kg. Según la hipótesis de Filón, la máquina es capaz de alcanzar un blanco a 112 m; según la hipótesis de Vitruvio, su alcance está entre 300 y 400 m. Tomamos para esta última 350 m, y veremos que los cálculos hacen difícilmente creíble la hipótesis de Vitruvio.
Comenzamos analizando el vuelo de la bala. Para ello, simplemente consideramos un tiro parabólico con rozamiento lineal (este tipo de rozamiento es el más adecuado para fluidos no turbulentos, como el aire en calma). La bala sale de la catapulta con un ángulo φ respecto de la horizontal y con una velocidad v, y a lo largo de su vuelo sufre una fuerza de rozamiento con el aire que es proporcional a su velocidad (cuanto más rápido va, más se frena). Esta idea se plasma en las siguientes ecuaciones:
siendo x la distancia horizontal e y la vertical (altura). En ellas, m es la masa de la bala (= 26 kg), b es la constante de rozamiento y g la aceleración de la gravedad (= 9,8 m/s2 para la superficie terrestre). El objetivo del cálculo será, específicamente, estimar la velocidad de salida de la bala, pues este dato ya nos dará pistas importantes sobre si las hipótesis son aceptables o no.
Las aproximaciones que hemos hecho para el cálculo son:
a. para el ángulo de salida hemos tomado el óptimo: 45º, que es el que permite un alcance máximo. Hay algo que nos escama en este sentido: todas las reproducciones modernas que hemos podido ver en la Red parecen orientadas con ángulos mayores, y creemos que no hay razón para ello, porque supone perder alcance a costa de nada (cualquier comentario en ese sentido es bienvenido!)
b. la constante b depende únicamente del medio (aire) y de la forma y dimensiones del proyectil. Hemos deducido las dimensiones de la bala a partir de su peso y de la densidad de la caliza, una roca común en el mediterráneo, y hemos buscado en Internet el coeficiente correspondiente al aire. El valor de b que hemos calculado es 0,016.
Una vez sabidos los valores numéricos, hay que resolver las ecuaciones. Para ello, hemos recurrido a esta página, que posee unos estupendos applets en java que generaron las siguientes gráficas:
para la hipótesis de Filón
para la de Vitruvio.
Como vemos, la velocidad de salida en Filón (para el ángulo de alcance máximo) es de 34 m/s, o sea, 122 km/h. Una velocidad muy alta. La de Vitruvio, por su parte, arroja 62 m/s (223 km/h!!), una velocidad realmente elevada. Pero aún no saquemos conclusiones.
Con estos resultados podemos calcular la energía cinética que la máquina ha comunicado a los proyectiles,
que da 15 kJ para Filón y 50 kJ para Vitruvio. Estos resultados serán más fáciles de interpretar con una manipulación más: si consideramos que la fuerza que ha tenido que ejercer la catapulta para impulsar las balas hasta esas velocidades. Para ello, recurrimos a la expresión del trabajo (otra forma de llamar a la energía) transmitido por una fuerza (en promedio a lo largo de una distancia):
donde hemos estimado la longitud útil del cañón en 3 m. Para Filón, arroja una fuerza de 5000 N; para Vitruvio, de 16000 N. Esto sería el equivalente a sostener un peso de 510 kg (en el caso de Filón) y de 1700 kg (Vitruvio) durante el tiempo que la máquina impulsa la bala (que es muy corto); de nuevo, el dato de Vitruvio es muy alto, aunque nos resulta difícil establecer una comparación, puesto que la máquina, de hecho, no está sosteniendo ningún peso. Sin embargo, ese dato es útil para otro cálculo, muy común en máquinas de cualquier tipo, y que sí nos permitirá establecer comparativas: la potencia. Ésta no es otra cosa que la energía útil (trabajo) que es capaz de desarrollar por unidad de tiempo,
pero tenemos que calcular el tiempo durante el cual la catapulta impulsa a la bala. Para ello calculamos la aceleración a través de la segunda ley de Newton:
que arroja valores de 192 m/s2 (prácticamente 20g) para Filón y de 615 m/s2 (casi 63g) para Vitruvio. Se trata de valores altos, espectaculares para máquinas tan antiguas, pero no del todo ajenos a nuestra vida del siglo XXI: por ejemplo, la aceleración que sufre un cuerpo humano durante un accidente de tráfico con cinturón de seguridad es de 35g; sin cinturón, puede superar las 100g.
Hecho esto, ya podemos saber el tiempo de impulso de la catapulta: por simple cinemática,
y ti = 0,177 s para Filón y 0,1 s para Vitruvio. Con ello, la potencia de la catapulta de Filón sería
o 115 caballos de vapor (CV), mientras que la de Vitruvio arrojaría
o 679 CV. Este dato sí nos parece muy significativo. La catapulta de Filón desarrollaría la potencia de un automóvil de gama media (lo cual nos resultó tremendamente sorprendente en un aparato de hace dos mil años), pero la de Vitruvio sería el equivalente de un superdeportivo de fabricación exclusiva... A nuestro entender, es una diferencia demasiado abultada para que ambos resultados se puedan atribuir a la misma máquina, es decir: o bien Filón construyó muy mal su versión, o Vitruvio consiguió con la suya un logro inimaginable. Podría tratarse de un error de los realizadores del documental --y que ambas máquinas no fueran iguales--, o podría ser que Vitruvio calculara su alcance para proyectiles más pequeños. Pero si hay que suponer ambas máquinas iguales, los números de Vitruvio parecen estar en su contra, y habría que concluir que su dato es erróneo... Más aún si observamos los resultados de la moderna reconstrucción, de la que ahora pasamos a hablar.
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